A versão original de esta história apareceu em Revista Quanta.
Toda a matemática moderna é construída sobre os fundamentos da teoria dos conjuntos, o estudo de como organizar coleções abstratas de objetos. Mas, em geral, os matemáticos investigadores não precisam de pensar nisso quando resolvem os seus problemas. Eles podem presumir que os conjuntos se comportam da maneira esperada e continuam com seu trabalho.
Os teóricos dos conjuntos descritivos são uma exceção. Esta pequena comunidade de matemáticos nunca parou de estudar a natureza fundamental dos conjuntos – particularmente os estranhos conjuntos infinitos que outros matemáticos ignoram.
O campo deles ficou muito menos solitário. Em 2023, um matemático chamado Anton Bernshteyn publicou um conexão profunda e surpreendente entre a remota fronteira matemática da teoria descritiva dos conjuntos e a moderna ciência da computação.
Ele mostrou que todos os problemas sobre certos tipos de conjuntos infinitos podem ser reescritos como problemas sobre como as redes de computadores se comunicam. A ponte que liga as disciplinas surpreendeu pesquisadores dos dois lados. Os teóricos dos conjuntos usam a linguagem da lógica, os cientistas da computação a linguagem dos algoritmos. A teoria dos conjuntos lida com o infinito, a ciência da computação com o finito. Não há razão para que seus problemas estejam relacionados, muito menos equivalentes.
“Isso é algo realmente estranho”, disse Vaclav Rozhoncientista da computação da Universidade Charles, em Praga. “Tipo, você não deveria ter isso.”
Desde o resultado de Bernshteyn, seus colegas têm explorado como avançar e retroceder na ponte para provar novos teoremas em ambos os lados e como estender essa ponte a novas classes de problemas. Alguns teóricos de conjuntos descritivos estão até começando a aplicar insights do lado da ciência da computação para reorganizar o panorama de todo o seu campo e repensar a maneira como entendem o infinito.
“Durante todo esse tempo estivemos trabalhando em problemas muito semelhantes, sem conversar diretamente uns com os outros”, disse Clinton Conleyum teórico de conjuntos descritivos da Carnegie Mellon University. “Isso apenas abre as portas para todas essas novas colaborações.”
Conjuntos quebrados
Bernshteyn era estudante de graduação quando ouviu falar pela primeira vez sobre a teoria descritiva dos conjuntos – como um exemplo de um campo que já foi importante e depois decaiu até nada. Mais de um ano se passaria antes que ele descobrisse que o professor estava errado.
Em 2014, como estudante de graduação do primeiro ano na Universidade de Illinois, Bernshteyn fez um curso de lógica com Anush Tserunyanque mais tarde se tornaria um de seus conselheiros. Ela corrigiu o equívoco. “Ela deveria receber todo o crédito por eu estar nesta área”, disse ele. “Ela realmente fez parecer que a lógica e a teoria dos conjuntos são a cola que conecta todas as diferentes partes da matemática.”
A teoria descritiva dos conjuntos remonta a Georg Cantor, que provou em 1874 que existem diferentes tamanhos de infinito. O conjunto dos números inteiros (0, 1, 2, 3,…), por exemplo, é do mesmo tamanho que o conjunto de todas as frações, mas menor que o conjunto de todos os números reais.
